求解函数不等式[给定具体函数]

前言

此时需要注意，和解抽象函数不等式不同的是，解具体函数不等式时所需要的函数性质，都涵盖在函数的解析式中，没有人告诉我们，需要我们自主挖掘这些隐含条件，比如定义域，单调性，奇偶性等等；

相关链接

1、函数方程与函数不等式；

2、求解抽象函数不等式；

本质剖析

解不等式\((x^2-3x)^3>-8=(-2)^3\)

法1：将左边用差的立方公式展开求解，估计你会自己打退堂鼓；

法2：借助函数\(y=x^3\)，定义域为\(R\)，增函数，故可以转化为\(x^2-3x>-2\)，即\(x^2-3x+2>0\)，

解得\(x<1\)或\(x>2\)，故解集为\((-\infty，1)\cup(2，+\infty)\)。

已知函数\(f(x)=x^3\)，求解不等式\(f(x^2-3x)>f(-2)\)，或者\(f(x^2-3x)>-8\)，

已知函数\(f(x)=x^5\)，求解不等式\(f(x^2-3x)>f(-2)\)，或者\(f(x^2-3x)>-32\)，

看完以上两个变式，估计你应该想到这一类不等式的求解本质，是借助这类函数的性质(定义域和单调性)来求解的，往往与这个函数的具体样子没有多大关系了。

简单层次

• 只需要借助定义域和单调性即可求解，甚至定义域为\(R\)时，定义域的限制都可以不予考虑。

【2019\(\cdot\)银川模拟】已知函数\(f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\)，若\(f(a+1)<f(10-2a)\),则\(a\)的取值范围是_____________.

解析：做出其函数图像如下所示，由定义域和单调性可知，

\(\left\{\begin{array}{l}a+1>0\\10-2a>0\\a+1>10-2a\end{array}\right.\)，\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a>-1\\a<5\\a>3\end{array}\right.\)

故所求的参数\(a\)的取值范围是\(a\in(3,5)\)

【2019\(\cdot\)高三练习】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x，x\leqslant 0}\\{ln(x+1)，x>0，}\end{array}\right.\) 若\(f(2-x^2)>f(x)\)，求\(x\)的范围。

分析：做出分段函数的图像，由图像可知函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，则由\(f(2-x^2)>f(x)\)，

得到\(2-x^2>x\)，解得\(-2<x<1\)。

【2020\(\cdot\)高三文科练习】【注意自变量由\(x\)需要替换为\(a\)】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x，x<2}\\{x^2，x\geqslant 2，}\end{array}\right.\) 若\(f(a+1)\geqslant f(2a-1)\)，则实数\(a\)的取值范围为【】

$A.(-\infty，1]$ $B.(-\infty，2]$ $C.[2，6]$ $D.[2，+\infty)$

分析：自行做出函数的简图，由图可知函数\(f(x)\)在定义域\((-\infty，+\infty)\)上是增函数，

由于\(f(a+1)\geqslant f(2a-1)\)，则\(a+1\geqslant 2a-1\)，

解得\(a\leqslant 2\)，故选\(B\)。

定义域限制

【2020\(\cdot\)高三文科练习】已知函数\(f(x)=lnx+2^x\)，若\(f(x^2-4)<f(1)\)，则实数\(x\)的取值范围是______。

分析：函数的定义域为\((0，+\infty)\)，且在定义域上单调递增，故由\(f(x^2-4)<f(1)\)，

得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-4>0}\\{x^2-4<1}\end{array}\right.\) 解得\(-\sqrt{5}<x<-2\)或\(2<x<\sqrt{5}\)，

故填写\((-\sqrt{5}，2)\cup(2，\sqrt{5})\)。

常数函数化

之所以需要将常数函数化或\(f\)化，就是为了利用函数的单调性，在两边同时去掉对应法则\(f\)，以便于将含有\(f\)的不等式转化为可以用常规方法求解的代数不等式。

【2020\(\cdot\)高三文科练习】已知函数\(f(x)=lnx+2^x\)，若\(f(x^2-4)<2\)，则实数\(x\)的取值范围是______。

分析：求解同上。

若\(f(x)=e^x-ae^{-x}\)为奇函数，则\(f(x-1)<e-\cfrac{1}{e}\)的解集为【】

$A.(-\infty，2)$ $B.(-\infty，1)$ $C.(2，+\infty)$ $D.(1，+\infty)$

分析：由于函数\(f(x)=e^x-ae^{-x}\)为奇函数且定义域为\(R\)，则\(f(0)=0\)，即\(f(0)=1-a=0\)，故\(a=1\)，则\(f(x)=e^x-e^{-x}\)在\(R\)上单调递增，且\(e-\cfrac{1}{e}=f(1)\)，则\(f(x-1)<e-\cfrac{1}{e}\)变形为\(f(x-1)<f(1)\)，则\(x-1<1\)，解得\(x<2\)，故选\(A\)。

添加奇偶

已知函数\(f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)，且\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；

分析：先求定义域，由于\(\sqrt{x^2+1}\ge \pm \sqrt{x^2}\)，故定义域为\((-\infty，+\infty)\)，

又由于\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，故\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，故函数为奇函数。

当\(x\in [0，+\infty)\)时，\(x^2\nearrow\)，\(1+x^2\nearrow\)，\(\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，\(x+\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，

\(y=ln(x+\sqrt{1+x^2})\nearrow\)，则由奇函数可知在\((-\infty，+\infty)\)上，\(f(x)\nearrow\)，

故由定义域为\(R\)，奇函数，单调递增，则由\(f(x-1)+f(x)>0\)，

得到\(f(x-1)>-f(x)=f(-x)\)，即\(x-1>-x\)，解得\(x>\cfrac{1}{2}\)，即\(x\in (\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。

【变式1】已知奇函数\(f(x)\)定义域为\(R\)，且单调递增，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；

【变式2】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(-x)+f(x)=0\)，且在\(x\in [0，+\infty)\)上时，恒有\(f'(x)\geqslant 0\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；

【变式3】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)图像关于原点对称，且在\(x_1,x_2\in [0，+\infty)\)上时，有\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0(x_1\neq x_2)\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；

已知定义在\(R\)上的偶函数\(f(x)\),在\(x\ge 0\)时，\(f(x)=e^x+ln(x+1)\)，若\(f(a)<f(a-1)\)，则\(a\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，1)$ $B.(-\infty，\cfrac{1}{2})$ $C.(\cfrac{1}{2}，1)$ $D.(1，+\infty)$

分析.根据题中所给的函数解析式,可知函数\(y=e^x，y=ln(x+1)\)在\([0，+\infty)\)上是增加的,

故函数\(f(x)=e^x+ln(x+1)\)在\([0，+\infty)\)上是增加的,

根据偶函数图像的对称性,可知函数在\((-\infty，0]\)上是减少的,

所以\(f(a)<f(a-1)\)等价于\(f(|a|)<f(|a-1|)\)，结合在\([0，+\infty)\)上是增加的,

解得\(|a|<|a-1|\)，两边同时平方去掉绝对值符号，

解得\(a<\cfrac{1}{2}\)，故选\(B\)。

解后反思：①、本题目如果分类讨论去掉符号\(f\)，就会变得很麻烦。②、遇到两个绝对值符号，通常平方处理。

提高难度

定义域，单调性和奇偶性都需要从函数的解析式中得到。

【2017\(\cdot\)榆林模拟】函数\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，则不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【】

$A.(\sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(\sqrt{3}，\sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号\(f\)，而在此之前，需要转化为\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函数为奇函数；

最后分析单调性，

法一，基本函数法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，

所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+sinx\)为\((-1，1)\)上的增函数，

法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，

由定义域和单调性得到以下不等式组：

\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故选\(A\)。

【2019高三理科数学第二次月考第9题】函数\(f(x)=ln(|x|-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，则使得不等式\(f(x)-f(2x-1)<0\)成立的\(x\)的取值范围是【】

$A.(1，+\infty)$

$B.(-\infty，-\frac{1}{3})$

$C.(-\infty，-\frac{1}{3})\cup (1，+\infty)$

$D.(-\infty，-1)\cup (1，+\infty)$

分析：由\(|x|-1>0\)得到定义域\((-\infty，-1)\cup (1，+\infty)\)；

由于\(y=ln(|x|-1)\)为偶函数，\(y=-log_{0.5}(x^2+1)\)为偶函数，【两个组成部分】

所以\(f(x)\)为偶函数；【整体】

以下主要讨论单调性，先考虑\(x>1\)的情形，

由于\(x>1\)时\(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，

其中\(y=ln(x-1)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递增，\(y=log_{0.5}(x^2+1)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，

故\(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)区间\((1，+\infty)\)上单调递增，

又由于其为偶函数，这样可知\((-\infty，-1)\)上单调递减，

由不等式\(f(x)-f(2x-1)<0\)等价于\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，

其在区间\((1，+\infty)\)上单调递增，

由定义域和单调性二者限制得到，\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\)

上式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)

解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；

二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，故选\(D\)。

综合应用

函数的性质需要我们自己总结归纳出来，并主动应用；

已知函数\(f(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x-\cfrac{1}{a^x})(x\in R，a>0，a\neq 1)\)

（1）求函数\(f(x)\)的单调性；

分析：我们先分析函数中的部分，\(g(x)=a^x-\cfrac{1}{a^x}=a^x-a^{-x}\)，

故\(g(-x)=-g(x)\)，即函数\(g(x)\)为奇函数，故求解如下，

（1）\(f(x)=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(x)\)，

\(f(-x)=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(-x)=-\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(x)=-f(x)\)，

即函数\(f(x)\)为奇函数，我们先重点分析\(x\in [0，+\infty)\)上的单调性，

①当\(a>1\)时，\(a^2-1>0\)，则\(\cfrac{a}{a^2-1}>0\)，\(lna>0\)

\(f'(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x\cdot lna-a^{-x}\cdot (-x)'\cdot lna)\)

\(=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot lna\cdot (a^x+a^{-x})>0\)，

则函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，

由函数为奇函数，则可知\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；

②当\(0<a<1\)时，\(a^2-1<0\)，则\(\cfrac{a}{a^2-1}<0\)，\(lna<0\)

\(f'(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x\cdot lna-a^{-x}\cdot (-x)'\cdot lna)\)

\(=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot lna\cdot (a^x+a^{-x})>0\)，

则函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，

由函数为奇函数，则可知\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；

综上可知，不论\(a\)为何值，函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；

（2）若\(f(1-m)+f(1-m^2)<0\)，求实数\(m\)的取值范围；

分析：先将不等式转化为\(f(1-m)<-f(1-m^2)\)，又函数\(f(x)\)为奇函数，则\(-f(1-m^2)=f(m^2-1)\)，

则\(f(1-m)<f(m^2-1)\)，由单调性可知，\(1-m<m^2-1\)，

即\(m^2+m-2>0\)，故所求取值范围为\((-\infty，-2)\cup(1，+\infty)\)。

带水平线

当函数图像中有一部分为水平线时，常常需要分类讨论。若能更好的利用图像，也可以避免分类讨论；

【2019福州质检】设函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{0，x\leqslant 0}\\{e^x-e^{-x}，x>0}\end{array}\right.\)，则满足\(f(x^2-2)>f(x)\)的\(x\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，-1)\cup(2，+\infty)$

$B.(-\infty，-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2}，+\infty)$

$C.(-\infty，-\sqrt{2})\cup(2，+\infty)$

$D.(-\infty，-1)\cup(\sqrt{2}，+\infty)$

分析：做出分段函数的图像如下，

则由\(f(x^2-2)>f(x)\)得到，

\(\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant 0}\\{x^2-2>0\;\;\;}\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}{x> 0}\\{x^2-2>x}\end{array}\right.\)

解得\(\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant 0}\\{x<-\sqrt{2}，或x>\sqrt{2}\;\;\; }\end{array}\right.\) 或 \(\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{x<-1或x>2}\end{array}\right.\)

即\(x<-\sqrt{2}\)或\(x>2\)，故选\(C\).

【更简单解法】结合函数的图像，我们只需要让\(x^2-2\)在单调区间内活动[注意不要取到左端点]，同时让\(x\)始终在\(x^2-2\)左侧活动即可满足题意；

故等价于\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-2>0}\\{x^2-2>x}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得，\(\left\{\begin{array}{l}{x<-\sqrt{2}或x>\sqrt{2}}\\{x<-1或x>2}\end{array}\right.\)

求交集得到，\(x<-\sqrt{2}\)或\(x>2\)，故选\(C\).

已知函数\(f(x)=\begin{cases}-1,&x\ge0\\x^2-1,&x<0\end{cases}\),则满足不等式\(f(3-x^2)<f(2x)\)的取值范围是【】

$A.[-3，0)$ $B.(-3，0)$ $C.(-3，1)$ $D.(-3，-\sqrt{3})$

分析：做出函数的图像，由图像可知，

原不等式等价于\(\begin{cases}3-x^2\ge0\\2x<0\end{cases}\)或\(\begin{cases}3-x^2<0\\2x<0\\3-x^2>2x\end{cases}\).

解得\(-\sqrt{3}\leq x<0\)或\(-3<x<-\sqrt{3}\),故\(-3<x<0\)，选\(B\)。

【更简单解法】结合函数的图像，我们只需要让\(2x\)在单调区间内活动[注意不要取到右端点]，同时让\(2x\)始终在\(3-x^2\)左侧活动即可满足题意；

故等价于\(\left\{\begin{array}{l}{2x<0}\\{2x<3-x^2}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得，\(\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{-3<x<1}\end{array}\right.\)

求交集得到，\(-3<x<0\)，故选\(B\).

【利用分段函数图像解不等式】若函数\(f(x)=\cfrac{x+1}{|x|+1}，x\in R\)，求解不等式\(f(x^2-2x)<f(3x-4)\)的解集。

分析：先分类讨论，去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，

当\(x\ge 0\)时，\(f(x)=1\) ，当\(x<0\)时，\(f(x)=\cfrac{x+1}{-x+1}=-1-\cfrac{2}{x-1}\)，

即\(f(x)=\begin{cases} 1 &x\ge 0 \\ -1-\cfrac{2}{x-1} &x<0\end{cases}\)，

则由图可知，原不等式等价于\(\begin{cases} &x^2-2x< 0 \\ &3x-4\ge 0\end{cases}\)或\(\begin{cases} &x^2-2x< 3x-4\\ &3x-4\leq 0\end{cases}\)

解得\(\begin{cases} &0<x< 2 \\ &x\ge \cfrac{4}{3} \end{cases}\)或\(\begin{cases} &1<x< 4 \\ &x\leq \cfrac{4}{3}\end{cases}\)，

即\(\cfrac{4}{3}\leq x <2或1<x\leq \cfrac{4}{3}\)，综合得到\(x\in (1，2)\)。

待归类整理

【2020届高三文科练习题】【2019石家庄一模】已知奇函数\(f(x)\)在\(x>0\)时单调递增，且\(f(1)=0\)，若\(f(x-1)>0\)，则\(x\)的取值范围是【】

$A.\{x\mid 0< x<1或x >2\}$

$B.\{x\mid x<0或x>2\}$

$C.\{x\mid x<0或x >3\}$

$D.\{x\mid x< -1或x >1\}$

分析：由于奇函数\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，且\(f(1)=0\)，

所以函数\(f(x)\)在\((-\infty，0)\)上单调递增，且\(f(-1)=0\)，

由不等式\(f(x-1)>0\)得到\(f(x-1)>f(1)\)，或\(f(x-1)>f(-1)\)，

故\(x-1>1\)或者\(0>x-1>-1\)，

解得\(x>2\)或\(0<x<1\)，故选\(A\)。

【2020届高三文科练习题】设函数\(f(x)=ln(1+|x|)-\cfrac{1}{1+x^2}\)，则使得\(f(x)>f(2x-1)\)成立的\(x\)的取值范围是___________。

分析：由\(f(x)=ln(1+|x|)-\cfrac{1}{1+x^2}\)，可知\(f(x)\)为偶函数，

故由\(f(x)>f(2x-1)\)变形为\(f(|x|)>f(|2x-1|)\)，

当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=ln(1+x)-\cfrac{1}{1+x^2}\)，

所以\(f(x)\)在区间\((0，+\infty)\)上是增函数，

由\(f(|x|)>f(|2x-1|)\)，得到\(|x|>|2x-1|\)，

两边平方，得到\(3x^2-4x+1<0\)，解得\(\cfrac{1}{3}<x<1\)，故\((\cfrac{1}{3}，1)\)

【变式】设函数\(f(x)=e^{1+|x|}-\cfrac{1}{1+x^2}\)，则使得\(f(x)>f(2x-1)\)成立的\(x\)的取值范围是___________。

分析：解析过程和结果都同上。

已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}+1，x\leqslant 0}\\{-\sqrt{x}，x>0}\end{array}\right.\)，则\(f(x+1)-9\leqslant 0\)的解集为__________。

分析：由题目可知，\(f(x+1)=\left\{\begin{array}{l}{2^{-(x+1)}+1，x+1\leqslant 0}\\{-\sqrt{x+1}，x+1>0}\end{array}\right.\)

即\(f(x+1)=\left\{\begin{array}{l}{2^{-(x+1)}+1，x\leqslant -1}\\{-\sqrt{x+1}，x>-1}\end{array}\right.\)

故\(f(x+1)-9\leqslant 0\)等价于以下两个不等式组：

\(①\left\{\begin{array}{l}{x\leqslant -1}\\{2^{-(x+1)}+1-9\leqslant 0}\end{array}\right.\) 或\(②\left\{\begin{array}{l}{x>-1}\\{-\sqrt{x+1}-9\leqslant 0}\end{array}\right.\)

解①得到，\(-4\leqslant x\leqslant -1\)；解②得到，\(x>-1\)；

综上可知，解集为\([-4，+\infty)\)。

注意：无理不等式\(-\sqrt{x+1}-9\leqslant 0\)的解法；变形为\(-\sqrt{x+1}\leqslant 9\)后，不能两边平方，此时只需要满足\(x+1\geqslant 0\)让根式有意义即可；即其解集为\([-1,+\infty)\)；

已知函数\(f(x)=-x^3+8x-4e^x+\cfrac{4}{e^x}\)，其中\(e\)为自然对数的底数，若\(f(a-1)+f(2a^2)\leqslant0\)，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，-1]$ $B.[\cfrac{1}{2}，+\infty)$ $C.[-1，\cfrac{1}{2}]$ $D.(-\infty，-1]\cup[\cfrac{1}{2}，+\infty)$

分析：\(f(x)=-x^3+8x-4e^x+\cfrac{4}{e^x}=-x^3+8x-4(e^x-e^{-x})\)，

由于\(y=-x^3+8x\)为奇函数，\(y=-4(e^x-e^{-x})\)为奇函数，

故\(f(x)\)为奇函数，且函数的定义域为\(R\)，

又由于\(f'(x)=-3x^2+8-4e^x-4e^{-x}=-3x^2+8-4(e^x+\cfrac{1}{e^x})\)

则\(f'(x)\leqslant -3x^2+8-4\times 2\sqrt{e^x\times \cfrac{1}{e^x}}\leqslant 0\)

故\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递减，

则由\(f(a-1)+f(2a^2)\leqslant0\)，变形得到\(f(a-1)\leqslant -f(2a^2)=f(-2a^2)\)，

故得到\(a-1\geqslant -2a^2\)，即\(2a^2+a-1\geqslant 0\)，

解得\(a\leqslant -1\)或\(a\geqslant \cfrac{1}{2}\)，故选\(D\)。